Didžiausio tikėtinumo metodas

Didžiausio tikėinumo metodą pirmiausia aptarsime tolydžiųjų atsitiktinių dydžių atveju. Tarkime, stebime atsitiktinį dydį X, kurio tankis p_{\theta} priklauso nuo nežinomo vienamačio parametro \theta. Tikėtinumo funkcija sudaroma taip:

L_{\theta}=p_{\theta}(X_1)p_{\theta}(X_2)...p_{\theta}(X_n).

Taigi tankio funkcijoje vietoje argumento iš eilės įstatome X_1,X_2,...,X_n. Ieškome tokio \theta, kuris maksimizuotų funkciją L_{\theta}. Dažniausiai tai daroma taip:

  1. Randame \ln{L_{\theta}};
  2. apskaičiuojame \ln{L_{\theta}} išvestinę pagal \theta: (\ln{L_{\theta}})';
  3. prilyginame rastą išvestinę nuliui (\ln{L_{\theta}})'=0 ir gautą išvestinę sprendžiame \theta atžvilgiu;
  4. gautą rezultatą \hat{\theta} laikome \theta įverčiu.

Pavyzdys:

Stebime X \sim N(\mu,1). Didžiasio tikėtinumo metodu įvertinkime \mu. Nagrinėjamu atveju X tankis

p_{\mu}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp{\{-\frac{(x-\mu)^2}{2}\}}

Todėl

L_{\mu}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp{\{-\frac{(X_1-\mu)^2}{2}\}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp{\{-\frac{(X_2-\mu)^2}{2}\}}...\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp{\{-\frac{(X_n-\mu)^2}{2}\}}=

=(\frac{1}{\sqrt{2\pi}})^n\exp{\{-\frac{1}{2}((X_1-\mu)^2+(X_2-\mu)^2+...+(X_n-\mu)^2)\}}

Logaritmuojame L_{\mu}:

\ln{L_{\mu}}=-n\ln{\sqrt{2\pi}}-\frac{1}{2}((X_1-\mu)^2+(X_2-\mu)^2+...+(X_n-\mu)^2).

Randame išvestinę pagal \mu:

(\ln{L_{\mu}})'=(X_1+X_2+...+X_n)-n\mu.

Gautą reiškinį prilyginame nuliui ir išsisprendžiame \mu atžvilgiu.

\mu=\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}=\bar{X}.

Taigi ieškomas įvertis \hat{\mu}=\bar{X}

Pastaba: Jei turine k-matį dydį \theta=(\theta_1,\theta_2,...,\theta_k), tai randame dalines \ln{L_{\theta}} išvestines pagal \theta_1,\theta_2,...,\theta_k. Jos prilyginame nuliui ir sprendžiam k-matę lygčių sistemą:

\left\{\begin{matrix}\frac{\partial L}{\partial \theta_1}=0,\\...\\\frac{\partial L}{\partial \theta_k}=0.\end{matrix}\right.

Gauti \hat{\theta_1},\hat{\theta_2},...,\hat{\theta_k} laikomi ieškomais įverčiais.

Reklama

Žymos:

2 atsakymai to “Didžiausio tikėtinumo metodas”

  1. meskevicius Says:

    Norėčiau pabrėžti, kad kuo imtis yra didesnė, tuo labiau tikėtina, kad parametro įvertis labai mažai skirsis nuo tikrosios parametro reikšmės.

  2. nathalija Says:

    Šis metodas yra plačiai naudojamas tokiems statistikos modeliams( uždaviniams): tiesiniai modeliai, faktorinė analizė, struktūrinių lygybių modeliavimas, hipotezių tikrinimas, pas.intervalų radimas ir t.t.

Parašykite komentarą

Įveskite savo duomenis žemiau arba prisijunkite per socialinį tinklą:

WordPress.com Logo

Jūs komentuojate naudodamiesi savo WordPress.com paskyra. Atsijungti /  Keisti )

Google+ photo

Jūs komentuojate naudodamiesi savo Google+ paskyra. Atsijungti /  Keisti )

Twitter picture

Jūs komentuojate naudodamiesi savo Twitter paskyra. Atsijungti /  Keisti )

Facebook photo

Jūs komentuojate naudodamiesi savo Facebook paskyra. Atsijungti /  Keisti )

Connecting to %s


%d bloggers like this: